3 būdai, kaip įveikti trinomijas

Turinys:

3 būdai, kaip įveikti trinomijas
3 būdai, kaip įveikti trinomijas

Video: 3 būdai, kaip įveikti trinomijas

Video: 3 būdai, kaip įveikti trinomijas
Video: Boston, MA – vloge suraskite riedantį akmenį 😉 2024, Kovas
Anonim

Trinomial yra algebrinė išraiška, sudaryta iš trijų terminų. Tikriausiai išmoksite skaičiuoti kvadratinius trinomus, kurie yra trinomiai, parašyti kirvio forma2 + bx + c. Yra keletas gudrybių, kurias galima pritaikyti įvairių tipų kvadratiniams trinialiams, tačiau praktikuodami pagerėsite ir greičiau. Aukštesnio laipsnio polinomai su tokiomis sąvokomis3 arba x4, ne visada gali būti išspręsta tais pačiais metodais, tačiau dažnai galite pasinaudoti paprastu faktorizavimu ar terminų pakeitimu, kad jie taptų problemomis, kurias galima išspręsti naudojant bet kokią kvadratinę formulę.

žingsniai

1 metodas iš 3: Faktoringas x2 + bx + c

Trejybės faktorius 1 žingsnis
Trejybės faktorius 1 žingsnis

1 žingsnis. Sužinokite platinimo ypatybę (angliškai dar vadinamą FOIL) , padauginti išraiškas, tokias kaip (x+2) (x+4).

Prieš pradedant faktoringą, gerai žinoti, kaip tai veikia:

  • padauginti Pirmas sąlygos: (x+2)(x+4) = x2 + _
  • Padauginkite sąlygas lauke: (x+2) (x+

    4 žingsnis.) = x2+ 4 kartus + _

  • Padauginkite sąlygas viduje: (x+

    2 žingsnis.)(x+4) = x2+4x+ 2x + _

  • padauginti paskutinis sąlygos: (x+

    2 žingsnis.) (x

    4 žingsnis.) = x2+4x+2x

    8 žingsnis.

  • Supaprastinti: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8
Trejybės faktorius 2 žingsnis
Trejybės faktorius 2 žingsnis

Žingsnis 2. Supraskite faktorizavimą

Padauginę du dvejetainius kartu naudodami skirstomąjį, gausite trinomę (trijų terminų išraišką), kurios forma yra x2+ b x+ c, kur „a“, „b“ir „c“yra įprasti skaičiai. Jei pradėsite nuo tos pačios formos lygties, galite ją suskaidyti į dvi dvejetaines.

  • Jei lygtis nėra parašyta tokia tvarka, perkelkite terminus į tinkamą vietą. Pavyzdžiui, perrašykite 3x - 10 + x2 Kaip x2 + 3 - 10.
  • Didžiausias rodiklis yra 2 (x2, ši išraiška vadinama „kvadratine“.
Trejybės faktorius 3 žingsnis
Trejybės faktorius 3 žingsnis

Žingsnis 3. Rezervuokite vietą pateikto metodo atsakymui

Kol kas tiesiog rašykite (_ _) (_ _) atsakymui skirtoje erdvėje. Netrukus užpildysime šiuos laukus.

Tarp tuščių terminų kol kas nedėkite ženklų „ +“arba „ -“, nes nežinome, kuris iš jų bus naudojamas

Trejybės faktorius 4 žingsnis
Trejybės faktorius 4 žingsnis

Žingsnis 4. Užpildykite pirmąsias sąlygas

Esant paprastoms problemoms, kai pirmasis jūsų trinomio narys yra tik x2, pirmosios pozicijos sąlygos visada bus x ir x. Tai yra x veiksniai2, nes x kartus x = x2.

  • Mūsų pavyzdys x2 + 3x - 10, prasideda x2, tada galime parašyti:
  • (x _) (x _)
  • Kitame skyriuje apžvelgsime sudėtingesnes problemas, įskaitant trinomines, kurios prasideda tokiu terminu kaip 6x2arba -x2. Kol kas sekite pavyzdiniu uždaviniu.
Trejybės faktorius 5 žingsnis
Trejybės faktorius 5 žingsnis

5 veiksmas. Naudokite faktorizavimą, kad atspėtumėte paskutinius terminus

Jei grįšite atgal ir iš naujo perskaitysite iš pradžių naudojamą metodą, pamatysite, kad padauginus paskutinius narius gaunamas galutinis polinomo terminas (tas, kuriame nėra x). Taigi, norėdami atsižvelgti į faktorių, turime rasti du skaičius, kurie dauginasi, kad sudarytų paskutinį terminą.

  • Mūsų pavyzdyje x2 + 3x - 10, paskutinis terminas yra -10.
  • Kokie yra -10 veiksniai? Kurie du skaičiai, padauginti kartu, sudaro -10?
  • Yra keletas galimybių: -1 kartą 10, 1 kartą -10, -2 kartus 5 arba 2 kartus -5. Užrašykite šias poras kur nors, kad nepamirštumėte.
  • Kol kas nekeiskite atsakymo. Ji vis dar atrodo taip: (x _) (x _).
Trejybės faktorius 6 žingsnis
Trejybės faktorius 6 žingsnis

Žingsnis 6. Išbandykite, kurios galimybės veikia su daugybe lauke ir viduje

Sumažinome paskutines sąlygas iki kelių galimybių. Išbandykite kiekvieną padauginę išorinius ir vidinius terminus, tada palyginkite rezultatą su mūsų trinominiu. Pavyzdžiui:

  • Mūsų pradinės problemos „x“terminas yra „3x“, todėl mes norime gauti testą.
  • Testas -1 ir 10: (x -1) (x+10). Išorinė + vidinė vertė = 10x - x = 9x. Ne.
  • 1 ir -10 testas: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Tai neteisinga. Tiesą sakant, išbandę -1 ir 10, jūs žinote, kad atsakymai 1 ir -10 bus priešingi aukščiau pateiktam rezultatui: -9x vietoj 9x.
  • Testas -2 ir 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Tai atitinka pradinį daugianarį, todėl teisingas atsakymas: (x-2) (x+5).
  • Tokiais paprastais atvejais, kai priešais x nėra konstantos2, galite naudoti spartųjį klavišą: tiesiog pridėkite du veiksnius ir po jų rašykite „x“(-2+5 → 3x). Tai neveiks su sudėtingesnėmis problemomis, todėl gerai prisiminti visą aukščiau aprašytą kelią.

2 metodas iš 3: sudėtingesnių trinominių grupių faktūravimas

Trinomial Factor 7 žingsnis
Trinomial Factor 7 žingsnis

1 žingsnis. Norėdami palengvinti sudėtingesnes problemas, naudokite paprastą faktoringą

Tarkime, kad reikia atsižvelgti 3 kartus2 + 9x - 30. Ieškokite skaičiaus, kuris lemia visus tris terminus (jų „didžiausias bendras daliklis“arba MDC). Šiuo atveju tai yra 3:

  • 3 kartus2 = (3) (x2)
  • 9x = (3) (3x)
  • -30 = (3)(-10)
  • Taigi 3 kartus2 + 9x - 30 = (3) (x2+3x-10). Mes galime išsiaiškinti naują trinomiją, atlikdami šio straipsnio pradžioje nurodytus veiksmus. Atsakymas bus (3) (x-2) (x+5).
Trejybės faktorius 8 žingsnis
Trejybės faktorius 8 žingsnis

2 žingsnis. Ieškokite sudėtingesnių veiksnių

Kartais veiksnys gali apimti kintamuosius arba gali tekti kelis kartus atsižvelgti, kol rasite paprasčiausią įmanomą išraišką. Štai keletas pavyzdžių:

  • 2x2y + 14xy + 24y = (2 metai)(x2 + 7x + 12)
  • x4 + 11 kartų3 - 26 kartus2 = (x2)(x2 + 11x - 26)
  • -x2 + 6x - 9 = (-1)(x2 - 6x + 9)
  • Nepamirškite dar kartą atsižvelgti į naują trinomiją, atlikdami veiksmus nuo pat pradžių. Patikrinkite savo atsakymą ir raskite panašių pavyzdžių problemų šio straipsnio pabaigoje.
Trinomial Factor 9 žingsnis
Trinomial Factor 9 žingsnis

Žingsnis 3. Išspręskite problemas, susijusias su skaičiumi priešais x2.

Kai kurių kvadratinių trinomių negalima supaprastinti, kol nepasieksite paprasčiausio tipo problemos. Sužinokite, kaip išspręsti tokias problemas kaip 3 kartus2 + 10x + 8, o tada praktikuokitės su pavyzdinėmis problemomis šio straipsnio pabaigoje:

  • Surinkite atsakymą: (_ _)(_ _)
  • Pirmieji terminai turi „x“ir, padauginus, gaunami 3x2. Čia yra tik vienas galimas variantas: (3x _) (x _).
  • Išvardykite 8 veiksnius. Mūsų pasirinkimai yra 1 kartas 8 arba 2 kartus 4.
  • Išbandykite juos naudodami terminus lauke ir viduje. Atminkite, kad veiksnių tvarka yra svarbi, nes išorinis terminas dauginamas iš „3x“, o ne iš „x“. Išbandykite visas galimybes, kol gausite rezultatą iš išorės + per 10 kartų (pagal pradinę problemą):
  • (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x Ne.
  • (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x Ne.
  • (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x Ne.
  • (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x Taip, tai yra teisingas veiksnys.
Trejybės faktorius 10 žingsnis
Trejybės faktorius 10 žingsnis

Žingsnis 4. Naudokite aukštesnės klasės trinomialų pakeitimą

Jūsų matematikos vadovėlis gali jus nustebinti aukšta x eksponentine lygtimi4, net ir jau panaudojus paprastą faktorizavimą problemai palengvinti. Pabandykite jį pakeisti nauju kintamuoju, kuris lygtį paverčia kažkuo, ką galite išspręsti. Pavyzdžiui:

  • x5+13 kartų3+36 kartus
  • = (x) (x4+13 kartų2+36)
  • Sugalvokime naują kintamąjį. Sakysime, kad y = x2 ir mes atliksime pakeitimus:
  • (x) (y2+13m+36)
  • = (x) (y+9) (y+4). Dabar grįžkite prie pradinio kintamojo naudojimo:
  • = (x) (x2+9) (x2+4)
  • = (x) (x ± 3) (x ± 2)

3 metodas iš 3: Faktoringas ypatingais atvejais

Trejybės faktorius 11 žingsnis
Trejybės faktorius 11 žingsnis

Žingsnis 1. Ieškokite pirminių skaičių

Patikrinkite, ar trinomio pirmojo ar trečiojo nario konstanta yra pirminis skaičius. Pirminį skaičių galima vienodai padalyti tik iš savęs ir iš 1, todėl yra tik viena galima dvejetainių veiksnių pora.br>

  • Pavyzdžiui, x2 + 6x + 5, „5“yra pirminis skaičius, todėl dvejetainis turėtų atrodyti taip: (_ 5) (_ 1).
  • 3x problema2+10x+8, 3 yra pirminis skaičius, todėl dvejetainis turėtų atrodyti taip: (3x _) (x _).
  • Dėl 3x problemos2+4x+1, tiek „3“, tiek „1“yra pirminiai skaičiai, todėl vienintelis galimas sprendimas yra (3x+1) (x+1). (Vis tiek turėtumėte atlikti šį dauginimą, kad patikrintumėte savo skaičiavimus, nes kai kurių išraiškų negalima atsižvelgti - pavyzdžiui, 3x2 + 100x + 1 neturi veiksnių).
Trejybės faktorius 12 žingsnis
Trejybės faktorius 12 žingsnis

Žingsnis 2. Patikrinkite, ar trinomija yra tobulas kvadratas

Tobulą kvadratinį trinomį galima padalyti į du identiškus dvejetainius, o koeficientas paprastai rašomas kaip (x+1)2, vietoj (x+1) (x+1). Štai keletas dažniausiai pasitaikančių, kurie linkę pasirodyti bėdoje:

  • x2+2x+1 = (x+1)2ir x2-2x+1 = (x-1)2
  • x2+4x+4 = (x+2)2ir x2-4x+4 = (x-2)2
  • x2+6x+9 = (x+3)2ir x2-6x+9 = (x-3)2
  • Puikioje kvadratinėje trinomėje x formos2 + bx + c, terminai „a“ir „c“visada yra teigiami tobuli kvadratai (pvz., 1, 4, 9, 16 arba 25), o terminas b (teigiamas arba neigiamas) visada lygus 2 (√a * √c).
Trejybės faktorius 13 žingsnis
Trejybės faktorius 13 žingsnis

Žingsnis 3. Patikrinkite, ar nėra sprendimo

Ne visus trinomius galima atsižvelgti. Jei esate įstrigęs ant kvadratinio trinomio (kirvis)2+bx+c), naudokite kvadratinę formulę rezultatui rasti. Jei vieninteliai atsakymai yra neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis, tada nėra realaus sprendimo, todėl nėra veiksnių.

Nekvadratiniams trinomams naudokite Eizenšteino kriterijų, kuris aprašytas patarimų skyriuje

Atsakymai ir problemų pavyzdžiai

  1. Atsakymai į sudėtingiausias faktoringo problemas.

    Tai problemos, susijusios su dalimi apie „sudėtingesnius“trinomus. Mes juos jau supaprastinome, todėl tapo lengviau. Dabar pabandykite juos išspręsti atlikdami veiksmus nuo pat pradžių, tada patikrinkite savo skaičiavimus čia:

    • (2 metai) (x2 + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
    • (x2) (x2 + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
    • (-1) (x2 -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)2
  2. Pabandykite išspręsti sudėtingesnes faktoringo problemas.

    Šios problemos turi bendrą kiekvienos kadencijos veiksnį, į kurį pirmiausia reikia atsižvelgti. Pažymėkite tarpą po lygybės ženklais, kad pamatytumėte atsakymą ir patikrintumėte savo skaičiavimus čia:

    • 3 kartus3+3 kartus2-6x = (3x) (x+2) (x-1) ← paryškinkite šią vietą, kad pamatytumėte savo atsakymą
    • -5 kartus3y2+30 kartų2y2-25 m2x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
  3. Praktikuokite sunkias problemas.

    Šios problemos negali būti įtrauktos į lengvesnes lygtis, todėl jums reikės parengti atsakymą (_x + _) (_ x + _) bandant:

    • 2x2+3x-5 = (2x+5) (x-1) ← paryškinkite, kad pamatytumėte atsakymą
    • 9x2+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)2 (Patarimas: gali tekti išbandyti daugiau nei porą veiksnių 9 kartus).

    Patarimai

    • Jei nežinote, kaip apskaičiuoti kvadratinę trinomę (kirvį)2+bx+c), gali naudoti kvadratinę formulę x reikšmei rasti.
    • Nors jums nereikia žinoti, kaip tai padaryti, galite pasinaudoti Eizenšteino kriterijumi, kad greitai nustatytumėte, ar polinomas yra neredukuojamas ir ar jo negalima atsižvelgti. Šis kriterijus taikomas bet kuriam daugianariui, tačiau jis ypač gerai veikia su trinomėmis. Jei yra pirminis skaičius „p“, kuris vienodai padalija paskutinius du narius ir tenkina šias sąlygas, tada daugianaris yra neredukuojamas:

      • Pastovus terminas (be kintamojo) yra p kartotinis, bet ne p.2.
      • Pagrindinis terminas (pvz., „A“kirvyje2+bx+c) nėra p kartotinis.
      • Pavyzdžiui, 14 kartų2 + 45x + 51 yra nesumažinamas, nes yra pirminis skaičius (3), kuris vienodai padalija 45 ir 51, bet ne 14, o 51 negali būti padalintas iš 3 vienodai2.

    Pranešimai

    Nors tai pasakytina apie kvadratines lygtis, faktiškos trinomės nebūtinai yra dviejų binomių produktas. Pavyzdžiui: x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2) (x2 - 5x + 23).

Rekomenduojamas: